L'Homme musical,  de Jean-Etienne Marie

"L'Homme musical" du compositeur Jean-Etienne Marie - ancien élève d'Olivier Messiaen et de Darius Milhaud - fait partie de mes ouvrages théoriques de référence sur la musique, un livre que je consulte régulièrement. Paru en 1976 dans la collection "Notre Temps" chez Arthaud, je l'avais acquis après avoir investi en 1981 dans un synthétiseur EMS Synthi Aks et un ordinateur personnel (personnal computer) Apple IIe 64 k avec deux cartes de la Mountain Hardware qui transformait l'Apple IIe en synthétiseur numérique 16 voix. Ce dernier utilisait la synthèse additive tandis que l'EMS Synthi AKS avait trois oscillateurs accordables séparément en fréquences Hz. D'où l'intérêt de pouvoir calculer les fréquences pour obtenir des modulations, ce que proposait précisément Jean-Etienne Marie. 

Tempéraments

Avec l'Homme musical, on entre de plein pied dans les systèmes des tempéraments, de ceux d'Aristote, d'Aristoxène et Zarlino, du tempérament égal , du demi-ton tempéré selon la formule racine 12e de 2 :

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Mais aussi des micros-intervalles.

Dans son ouvrage, l'auteur traite de l'électroacoustique, de l'image et du son et des précurseurs dans "l'introduction des micro-intervalles dans la musique occidentale" soit Carrillo, Haba et Wyschnegradsky. Sans oublier Colonna (XVIe siècle), Zarlino, Vicentino, Huygens, Fokker, Sauveur ou Mercator. Il cite aussi Busoni et Ives pour leurs essais. 

De même, il publie "les tables de progression caractérisant les tempéraments" de la division de l'octave (de 2e au 65e) établie par Augusto Novaro, disciple de Carillo,  en 1951 dans "Sistema natural de la musica" (pages 51 à 58). Des tables de progression qui sont applicables immédiatement sur les synthétiseurs dont les oscillateurs peuvent-être accordés séparément par fréquences Hz et non pas par demi-tons.  

Et alors que les systèmes de Pythagore, d'Aristoxène et Zarlino, s'appuient sur la multiplication des rapports, (9/8) élevé à la puissance 6 = 2.027 pour Aristoxène, et la succession de quintes ramenées dans l'octave avec le rapport (3/2) élevé à la puissance 12 pour Pythagore, le calcul des progressions de Novaro est nettement plus simple à établir.
Il correspond à l'opération  racine 12e de 2  (¹²√2 ou 2 ^ (1/12) qui donne en résultat l'indice de l'intervalle pour le demi-ton tempéré, soit le tempérament de 12 sons progression de raison 1.05946,  le quart de ton : 2 ^ (1/24) progression de raison 1.0293022, le 1/8e de ton : 2 ^ (1/48) progression de raison 1,0145453, 1/16e de ton : 2 ^ (1/96) progression de raison 1.0072464, etc...

Et le calcul des fréquences des intervalles consiste à multiplier les indices des progressions par la fréquence Hz désirée : ex avec le Do 261,63 Hz pour obtenir la quinte Sol =>  2 ^ (7/12) = 1.4983071 * 261.63 =  392.002 Hz. 

CAO et calculs tempéraments

Dès lors, avec les outils d'aujourd'hui en CAO (Composition Assistée par Ordinateur) comme Open Music de l'Ircam ou Opusmodus de Janusz Podrazik, les tables de progressions d'Augusto Novaro de 2√2 à 63√2  sont aisées à réaliser tout comme celles des fréquences Hz utilisées par Karlheinz Stockhausen  pour Study 2 (25√5 progression de raison 1.066495). 

Des tables "microtonales" qui sont applicables sur les synthés virtuels ou hardware à partir du moment où leurs utilisateurs peuvent accorder précisément en fréquences Hz leurs oscillateurs ou que ces synthétiseurs acceptent les ajustements de fréquences via les midicents à l'instar par exemple  de Pianoteq, de la banque UVI Ircam Solo Instruments, de l'Ems Avs de Ludwig Rebherg (modélisation de l'EMS Synthi AKS), Reaktor, Max, Arturia Buchla Easel, Synthi V, Sonic Lab Fundamental, etc.). 

Concrètement, pour reprendre l'exemple de Studie II de K. Stockhausen (1954) - déjà formalisée nativement dans Max et Csound, l'éditeur de synthétiseurs et effets virtuels SonicLab a récemment modélisé un oscillateur à tube à vide Thode & Schwartz sous l'appellation "Fundamental", un oscillateur qui était notamment utilisé par K. Stockhausen  dans le studio allemand de la WDR dans les années 1950. Dans une vidéo récente, Sinan Bokesoy, fondateur de Sonic Planet et SonicLab a présenté une vidéo où il reprend le calcul de Stockhausen pour obtenir les fréquences Hz utilisées dans Study 2 afin de démontrer les possibilités de "Fundamental". La fréquence de base étant de 100 Hz et l'intervalle étant calculé sur la base 25√5 pour créer une échelle de 81 sons.    

     

J'ai reproduit avec les outils d'Open Music de l'Ircam ce calcul de Stockhausen en utilisant notamment la fonction exponentielle d'OM pour calculer le ratio puis pour obtenir la fréquence en Hertz sur la base de 100 Hz. Puis, avec une série arithmétique permet de calculer les 5 progressions suivantes. Le résultat étant conforme au tableau créé par Siman Bokesoy. 

Avec Opusmodus, où la programmation en Common Lisp s'effectue via un script on retrouve le même processus, avec une exponentielle et une fonction "make-scale" qui est l'équivalent de la fonction série arithmétique arithm-ser d'Open Music. A noter, d'ailleurs, qu'avec Open Music, la programmation aurait pu se faire directement dans l'éditeur de Common Lisp et être quasi similaire à celle d'Opusmodus.